講義1(前期開講分) 平成29年度13回目
2017年5月27日。
5/24の午後イチの講義の記録。翌日に記録を書く積りが・・・。本日の講義の準備として、昨年度の記録を見返そうとして。。。
まず、開口の開いている部分で1、それ以外で0と定義した開口関数fを、透過率分布にまで拡張する話をする。更に半透明物質から、屈折率がn≠1の透明物質の場合に拡張し、開口関数fがexp[-inkd(x)]の形の位相因子になることを説明。ここで、d(x)は位置xでの厚み。さらには、透過率分布を同時に持つケースもあるので、開口関数fは複素数となる。ここまで説明し、演習のレポートを提出させる。演習問題は0<f<1の場合に相当していた。
さて、0<f<1の場合の例として、透過率が正弦波の分布をしている場合を取り上げる。これは、sinをexpで表して、「1のフーリエ変換がディラックのδ関数になる」ことを使う計算。0次光と±1次光のみが現れる。f(ξ)=[1+sin(Kξ)]/2の場合は、±1次光の振幅は0次光の1/2になる。強度は1/4になる。
最後にN重スリット。前回の二重スリットの拡張として行う。まず、等比級数の和の公式を適用して1+exp[-i(・・・)]+exp[-i2(・・・)]+・・・+exp[-i(N-1)(・・・)]の計算をする。その後、1-exp[-i(・・・)2b] = exp[-i(・・・)2b]{exp[i(・・・)b]+exp[-i(・・・)b]}の形の変形をして、sinで書き換える。これをやる目的は、このような計算方法を示すこと意外に、中心での光強度が単一スリットの場合のN2倍になることを述べること。尚、スリットが（間隔2bで）等間隔に並んでいる場合はN2倍になるが、ランダムに並んでいる場合は中心での光強度はN倍になる。
目標2のレポート課題は、途中に配布し、最後に質問がないか問うたはずだったが、正確に思い出せない。
疲れが溜まっている。
講義1(前期開講分) 平成29年度12回目
2017年5月23日。
昨日の午後イチの講義。朝イチの演習の自分の担当分は終っているが、1日遅れで講義の記録を。
1次元のフラウンホーファー回折として、各種開口についての計算を行うところに入る。今回と次回がそれ。物理が見やすいので、平行光が回折されるものとする。積分の前の定数が1となるような単位と取って開口面上の位置xにおける振幅u(x)を計算する。
最初は、単スリット。幅が2a、つまり開口関数f(ξ)は、-a<ξ<aで1、その外で0。簡単な積分によりsinc(x)=sin(X)/Xを用いて、u(x)=2a sinc[(2πa/λR)x]となる計算は、簡単。Rは開口面と観察面の距離。ここから、まずx=0で振幅が最大になることを述べ、次いで暗線条件を調べる。暗線条件は厳密にxm=m(λR/2a)=m(λR/d)と求まる(m≠0)。d=2aはスリット幅。暗線間隔Δx=xm+1-xm=λR/dをまず説明。光軸と第m暗線の角度をθmとして、|θ|<<1のときにtanθ～θ～x/Rを図を描いて示して、隣り合う暗線の間隔に相当する角度Δθ=θm+1-θm=λ/dも説明。回折の広がりは、波長λに比例して大きくなり、スリット間隔dに反比例して小さくなる。Rは、相似に拡大するだけで、角度は変わらない。明線位置に関しては、xが大きいときにはsin[(2πa/λR)x]=±1を与えるxで近似できるが、厳密んにはdu(x)/dx=0を解くんですよ。演習問題として、各自で考えてみて下さい。回折の広がりについて述べましたが、中心の一番大きなピーク、0次回折光の半値幅や第1暗腺までの距離、1次回折光のピーク位置によって評価するやり方もありますね。流儀でなくて、それぞれ物理があるんでよね。
さて、暗線間隔についての議論、高校でやったことを思い出しませんか？ 二重スリットによる干渉のところで全く同じ議論をしましたよね。実は、高校でやった明線の条件と今の単スリットの暗線の条件が一致するんですよ。高校と大学の違いは、何ですかね？ 振幅uの分布が計算できるのが大学、光路差だけで暗線条件・明線条件を出すのが高校なんです。二重スリット（間隔2a）による干渉の振幅の分布を計算して見ましょう。（図を描いて）上側のスリットからの光波の振幅をu+、下側からのをu-とし、観測点ではu=u++u-。u±=u0exp(-kl±)、l±=(R2+(x－/＋a)2)1/2のようにして計算を進め、u(x)=u(0)cos[(2πa/λR)x]を導出。
干渉の計算で、それぞれのスリットの内の異なる位置を通って来た光波の足し合わせは考えてきませんでしたね。そのような足し合わせが回折で、今日は二重スリットによる回折を行って終わりです。その前に、どのような条件で回折の効果が生じなくなるのか、考えておきましょう。スリット幅が小さい場合ではありませんよ。u(x)=2a sinc[(2πa/λR)x]なので、a→0でu(x)→0になってしまいますね。光源を発する光の可干渉性という問題です。光源に質が悪いと、スリットの内の異なる位置での光波の位相の差異は問題にならない訳です。初期位相に関して、可干渉性の説明をしましょう。レーザーは、可干渉性のいい光源ですから、初期位相は一定とみなせますが、やはり長い時間経つと初期位相は異なってしまいます。時間とともに初期位相が変化する訳で、その時間が短ければ質の悪い光源ということになります。スリット内の異なる位置での光な波の位相の違いが問題にならないのは、光源の質の問題なのです。
さて、二重スリットによる回折に入りましょう。二つのスリットの真ん中に原点ξ=0を取るやり方と、一つ目のスリットの真ん中に原点を取るやり方が考えれれますね。ここでは、後者のやり方で計算します。スリット幅を2a、間隔を2bとして、開口関数を書く出して積分を計算。一つ目のスリットからは単スリットの単スリットによる回折の結果u1(x)=2a sinc[(2πa/λR)x]が出てきて（添え字の1は単スリットを表す）、二つ目のスリットからはexp[i(2πx/λR)2b] u1(x)が出てくる。尚、前者の原点の取り方だと、一つ目のスリットからの回折光の振幅に位相因子exp[-i(2πx/λR)b]が付き、二つ目に位相因子exp[i(2πx/λR)b]が付く。二重スリットに依る回折の結果は、これら二つを加えた形で、u2(x)={1+exp[i(2πx/λR)2b]}u1(x)となる。位相因子の和の部分は1+exp[i(2πx/λR)2b]=exp[i(2πx/λR)b]{exp[-i(2πx/λR)b]+exp[i(2πx/λR)b]}となり、cos[(2πx/λR)b]が出てくる。最終的には強度I(x)=u*(x)u(x)が観察されるので、位相因子exp[i(2πx/λR)b]は効いてこない。干渉と回折の積になるという説明をした後に、へたくそなグラフを描く。最後に、欠線の話をして終り。
少し余裕があったのは、次のようなことのため。毎年、時間一杯になるのですが、今日は少し余裕がありますね。何か言い落としたことがあるかと思ったら、例年は回折の広がりについて、もう少し具体的に説明してましたね。
目標2のレポート問題を作成中なのが時間がない事情でもある。そりゃ、もう12回目で文字通り終盤ですから。
講義1(前期開講分) 平成29年度11回目
2017年5月18日。
昨日の午後イチの講義の記録。まず、前々回の講義の些細なミス二つの訂正のコメント。そのうちの一つは、今回の講義の主題のフラウンホーファー回折とフレネル回折の出発点の式を記すもの。尚、今後は今回の講義以降は、積分の前の変数をCとしてしまって問題にしないので、傾斜因子を2で割るかどうかは影響して来ない。また、フーリエ変換の演習問題のプリントと前回の試験に関して、「正解はAですが、Bと書いたものも正解とします」というプリントも配布。後者に関しては、講義で口頭説明はしないと明記。
さて、フーリエ変換の演習問題を配ったのだから、回折の計算がフーリエ変換になることを示すのが今回やることなのはわかるでしょう。既に開口の中心と光源Qの距離R0と開口の中心と間測点の距離Rは、前々回に導入しましたね。回折積分がフーリエ変換になるためには、遠視野の条件R0>>λ、R>>λより厳しい条件が必要となります。その前に、開口上を動く成分変数で面積分を行うと観測面上の座標の関数としての振幅が得られることを表すのに便利なように座標の取り方の変更をしましょう。開口の中心をO(0,0,0)、開口面上の点をX(ξ,η,0)、観測点をP(x,y,z)としましょう。R,R0,r=XP,r0=XQをこれらの変数で表した後、R,R0が大きいとしてr,,r0を展開。ここで、exp[ik(r+r0)]の中の、例えばkrについて考えると、k=2π/λなので、kr=kR+...の次の項は分母にλとRの積が現れ、遠視野条件で小さくなるλ/Rのような量ではない。開口の大きさDを導入して（-D<ξ,η<D）、少し誤魔化して、D2/λR<<1がkr=kR+...の高次が無視できる条件だという。ξ,ηの1次までで近似できる場合をフラウンホーファー回折といい、それでは不十分で2次まで必要となる場合をフレネル回折といいます。英語だとR>>D2/λはフラウンホーファー条件というように訳せる語になっていますが、日本語ではフラウンホーファー回折の条件という語になっているかもしれません。フラウンホーファー条件もRが十分に大きい条件ですが、遠視野条件が一般的であったのに対し、フラウンホーファー条件が破れる光学系は簡単です。
次回以降いろいろな実例を扱いますが、学部学生だからということで、フラウンホーファー回折に限定して計算を行います。これは、平均レベルではそんなところという以外に、フーリエ光学という一つのメジャーな分野があることもあります。フレネル回折が前面に出てくるような光学系は、少し特殊な気がします。また、レンズを使っ焦点面で結像させれば、コンパクトにフーリエ光学系を実現できますので。そのようなレンズをフーリエ変換レンズといいます。
30分程度残して、演習を。残念ながら、時間内に演習を黒板でやってくれる学生は出なかった。どの問題をレポートにするかを決めて終わり。
博士前期課程講義 平成29年度 5回目
2017年5月17日。
本日は、新入生の導入科目を朝イチにやってから、学科会議を挟んで（昼食の時間がなかった）、午後イチに講義1。ここに記すのは、昨日のマスター生に対する講義について。
「結晶成長」の話をした。雪の結晶を見たことがありますか？ 幼少に頃に見た記憶があるが、最近は雪が降らないな・・・てところでしょうか、という導入。結晶の形って、単に子供への科学入門のように見えるでしょう。単なるサイエンスに思えるかもしれません。スキーをしたことがありますよね。今日の雪は滑りがよい、さくさくしている、がりがりだ・・・ってことは感じますよね。雪の結晶がどんな形だったら、どんな雪質になるんでしょうかね？ スポーツに限定された話ではありませんよ。雪の結晶の研究、工学分野でも重要なんですよ。土木工学・都市工学、道路の問題ですよ。どんな雪の結晶だったら滑りやすいかとか、融雪剤はどれがいいかとか。最近は、なだれなど災害対策が注目されていますが、これも土木工学の分野ですね。どんなゆきの結晶だったら、なだれがおきやすいか。
ウルフの定理をやって、結晶の成長形（漸近形）をやる。速度の遅い面で囲まれる話をした後、再び雪の結晶の写真を見せて、成長速度の速い「角（かど）」が伸びてしまっている、と。更には、「角」が伸びるだけでなく、枝分かれも、と。
途中、半導体表面の構造形成の紹介も。つまり、結晶形の問題は、量子ドットなんかとも関連しているんです。
表面張力による安定化の話と遮蔽効果による不安定化の話をし、線形安定性解析のあらましを話す。界面の時間発展方程式の例として、KPZ方程式を紹介して終り。
講義1(前期開講分) 平成29年度10回目
2017年5月16日。
昨日の午後イチは、講義1(前期開講分) の10回目で、前半の試験。試験と言っても、月曜の朝イチの演習とは違い、基本知識等を問う問題。単純には、穴埋め問題ならば問作も大変ではなくて、講義よりは体力は使わないことになる。しかし、やはり疲れた。問作には気は使う（それでも、試験問題に対し「こうすればよかった」ってのはある）。TAに試験監督の補助をやってもらい、学生証のチェック、答案の整理を手伝ってもらうようにしているので、かなり楽になっている。来年度は、演習の担当を外れるので、一日に2つの試験を行うことはないだろう。
試験終了後に休憩を挟んで、試験に対する解説、演習の返却、レポートの解説の配布を行った。演習については、n×H=0に関する記述について、減点を行ったものが多数と述べたが、既にプリントを配布済なので、説明は繰り返さない、とした。レポートは、まだ40%位しか採点が終っていないが、既に複数の再が出ている。本来ならば、返却用コピーができていないので、その返却は後日しますが、再のものについては指導をします、としたかった。しかし、残りの60%の中に再が出た場合に、不公平が生じるので、行わなかった。
演習 平成29年度6回目
2017年5月15日。
演習の6回目（私の担当の5回目）は、私担当分の試験。
TAに監督補助を行ってももらって、朝イチに試験を終了。補助監督ありがとう。
調和振動子の運動方程式（二階の微分方程式d2f(t)dt2=-ω2f(t)）が解けない学生の多さに、TAの院生も唖然。exp(±iωt)は電気回路で頻出ですよ、とのこと。記号が合ってないので、他の教科で散々やった問題だってことが認識できてないんじゃないでしょうか、と。fでなくてxだったら力学の調和振動子、IとかVだったら回路の問題だと認識できる訳か。尚、微分方程式の問題としてではなく、複素関数の章の問題なので、exp(at)の形を仮定して解くヒントを与えてある。df(t)/dtを掛けて、一回積分してエネルギー積分の形を得る方法のヒントも与えている。
演習をやってくれた学生が、問題I(a)とI(b)とあるうちのI(b)だけを解いてくれて、「難易度的に問題があるので、I(b)だけを試験問題とする訳に行かない。ここで、I(a)も誰かがやってくれて『試験に出ても大丈夫です（今やったから、試験でチェックしなくても大丈夫です）』ってことになるといいが。」とのコメントにそのまま誰も反応だったので、「この問題は、黒板でやらなくてもできるかから、『試験に出しても大丈夫』ですか？」と言うことになって、引っ込みが付かなくなって出題した問題のできが悪い。
午後イチは講義1の試験。採点が溜まって来つつある。
