講義1(前期開講分) 平成29年度9回目
2017年5月11日。
昨日は、朝イチに新入生の導入科目（新入生オリエンテーション・新入生研修の続き）の授業。そして、午後イチに講義。タフな一日だったのは、午前の後半にペーパーワークを行ったこと。また、二つの授業の試験問題作製中でもある。学生委員の関連のイベントの日程調整の返事が遅れていて、催促されてしまった。
さて、講義はヘルムホルツ・キルヒホッフの積分公式（前回の講義の最後）にキルヒホッフ近似を行い、計算可能な形式に近づけること。積分公式における面積分を行う領域を(A)開口部、(B)開口面で開口の開いていない部分、(C)観測点Pより遠方に分け、(B)と(C)に関する積分自体をゼロにすることがキルヒホッフ近似。(B)の積分をゼロとみなすことは、開口の開いていない部分に回りこむ波は、今考えている遠視野条件では寄与しないと考えられるから。これは、毎年述べている。遠視野条件は、波長λと開口上の点Xから観測点Pまでの距離rについて、r>>λとなることに言及。ついでに、光源Qから開口上の点Xまでの距離r0についてもr0>>λを記述。毎回述べているのは、(C)における積分をゼロとすることは、数学的には破綻した近似であること。振幅uは球面波のように振舞い、被積分関数は∝1/rのようにゼロになる。しかし、被積分関数がゼロに収束しても、1/rの積分は発散しますね。その類の近似ですよ。それにもかかわらず、その近似を使った理論で現象は上手く説明できてしまうんです。教科書には書いてないことですが、光波の場合、周波数が高いので、振幅uそのものは観測できなくて、その二乗が観測される、そんな事情かもしれません。
さて、実は球面波u=Aexp(ikr0)/r0の方向微分で小さなミスを犯してしまいました。積分公式中の(v=)exp(ikr)/rの方向微分を∂[exp(ikr)/r]/∂z = (∂r/∂z) ∂[exp(ikr)/r]/∂rと計算するのと形式的に同じ形です。つまり、∂[exp(ikr0)/r0]/∂z = (∂r0/∂z) ∂[exp(ikr0)/r0]/∂r0まではよくて、さらに開口面法線とrおよびr0のベクトルとのなす角のコサインで表現するものも間違いは犯していません。X(x,y,z)、P(0,0,0)の場合は、r=(x2+y2+z2)1/2なので、 ∂r/∂z=z/rです。しかし、Q(x0,y0,z0)のときr0=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]1/2で、∂r0/∂zも∂r0/∂z0も同じであることに言及し、 ∂r/∂z=z/rに添え字0を付けたものを間の計算で書いてしまいました。計算すれば一目瞭然ですし、∂zを∂(z-z0)で置き換えても（∂(z0-z)で置き換えても）同じというところまで言えば良かったんですね。次回はうっかりしないようにしたいと思います。
遠視野条件を不等式で書いたことは、この方向微分における∂[exp(ikr)/r]/∂rと∂[exp(ikr0)/r0]/∂r0に対する近似を正当化するのにいいんですね。k=2π/λはrやr0に較べて十分に大きい。
開口の中心と光源の距離R0と開口の中心と観測点の距離Rを定義して、被積分関数中のexp[ik(r+r0)]/rr0において、分母をRR0に置き換えるが、分子の指数関数中ではその置き換えの近似はできない。精密さのためにこの段階でRとR0を出している（フラウンホーファー回折・フレネル回折に進む前に）。遠視野条件を不等式で書いておいたことは、指数関数の肩が大きな数であることを示してもいる。
平行光が回折される場合に、回折光について近軸近似を行って、回折光と光軸とのなす角の関数としての傾斜因子を積分の外に出した形を補足。これは、ホイヘンスの原理でで排除できなかった後退波を自動的に排除するものである、と説明。前回に「ホイヘンスの原理のこの欠点は、回折理論では解決される」と述べていて、その答を示した訳です。傾斜因子に1/2を付けた方が良かったと少し反省。
博士前期課程講義 平成29年度 4回目
2017年5月10日。
もう後半に入っている講義もあれば、この講義はまだ4回目なんだ。昨日の午前後半は博士前期課程の講義の4回目。デバイダー法／カバー法の演習。講義の後に実際の演習を行った。連続した曲線にもかかわらず、フラクタル次元が1以下となったって結果があって、ちょっと困った。
カントール集合を簡単に描いて、このような場合は、カバーの大きさεを小さくしたとき、「ぶち切れの線分」を覆うために必要なカバーの数Nの増加の指数は1より小さくなります。ぶちきれでない場合は、そうならないことはわかるでしょう、と。
山の端について（円での）カバー法を行い、半径によって傾きが変わる「ような」結果が出てきたのは、良かった。
最後には、海岸線について、1.3よりも少し小さい指数がでてきて、それを受講生に見せて（紹介して）、講義を終ることができた。収束して良かった。もちろん、発散させて終る、to be continuedで終る、ってのも必ずしも悪いやり方ではない。
講義1(前期開講分) 平成29年度8回目
2017年5月9日。
月曜の午後イチは、講義1。昨日は、講義（前期開講分）の8回目だが、前半の試験は一週間遅らせて実施するので、後半の1回目。毎回同じように紙に切り込みを入れ、底にレーザーポインターの光を通し、横に光が広がることを見せるのからスタート。縦に切り込みみを入れた場合、光は横に広がる。これが回折で、後半の主題。
先週出題しておいたレポートについて、演習と同じ間違いを犯して欲しくないので、注意点をプリントして配布。ただし、解説は来週の試験の後。さすがにn・E=0だと、それをE=0と等価だとみなすことはないだろうが、外積だと三成分あるので、「これは、E=0と等価だとみなしている」というケースが生じ兼ねない。
偏光の右回りと左回りについて、教科書では図と本文に食い違いがあった。「私も先週は、演習の後にゼミがあって、講義までの間に休憩を入れられなくて疲れてしまって。この教科書の著者もこの部分を書いた時にそんな状態だったのかも。なんかわかるな。。。それではいけなくて、それがわかるから、講義では正しいことを言わなければ・・・」。
まず、光波限定なのか、電磁波共通なのか、波動共通なのか、それとも周波数が高い場合に限定なのか、いう話を初回と同様にする。ホイヘンスの原理ということで、波動共通だと言及。スカラー波近似というとも述べる。ホイヘンスの原理では後退波を排除できない欠点があることも言及。後半でやる回折理論では、それが解決されるとも。
回折積分は、グリーンの定理から入るのが定番。いつもは、ヘルムホルツ方程式の境界値問題をグリーンの定理を適用して解く、というい方をして入っている。今回は、開口面における振幅を足し合わせて、観測面における振幅を計算する、ということを先に言ってしまう。その後、ヘルムホルツ方程式に従う振幅の点Pにおける値を、点Pを内部に含む領域の表面における振幅がわかれば、表面積分によって計算できる、という定式化までを行って終わり。私の親切は、グリーンの定理における方向微分の説明を、点Pの回りの半径Rの球形の領域の表面S'の法線に対するものがすんなり理解できるよな定義式を書いていること。また、S'に渡る表面積分は、極座標で表して丁寧に行っている。
演習 平成29年度5回目
2017年5月8日。
これで私の担当分は最後(4回目)で、来週の試験を残すのみ。
本日の演習で感動したのは、コーシーの積分公式を使った解法が余りにも綺麗だったので、テキストを見たところ「N章の演習問題をN+1章のやり方でやっている」ことに私が気付き、「N章のやり方で解く別解があるはずですよ」とコメントしたことに対し、その演習問題をやった学生自身が留数定理を用いた解答を授業時間の後半に行ったこと。しかも、虚数単位iをどこかで忘れ、微妙な食い違いがあるところも、教員が「各自でチェックして下さい、として終わりましょうか」という姿勢になったにもかかわらず、修正もしてくれた。
また、別の問題で、計算ミスをしているのを指摘して修正させるコメントが「聴衆」から出たのも良かった。
一つ、難易度不足の問題の選択があったことは残念だった。
さて、どんな試験問題にしようか。
講義1(前期開講分) 平成29年度7回目
2017年5月2日。
昨日の午後イチの講義は、後半が最悪。つまり、朝イチで演習、午後の後半にゼミ、其の後の午後イチの講義は、後半には疲れてしまって、些細なミスの修正をとっさにできない。
講義の前半は、何と・・・今まで教科書では「媒質1側から光波が入射し、媒質2との境界面で反射する」とし、媒質1側の屈折率n1が媒質2側の屈折率n2よりも大きな場合として全反射が扱ってあると信じきっていたところ、n2>n1となっていることに気付いてしまった。つまり、媒質2が入射波側。従って、スネルの法則は、n2sinθt=n1sinθt。全反射の臨界核は（sinθt=1から）sinθc=n1/n2。教科書でn1とn2が逆になっていて、式変形の途中で気付いて、修正。「今まで、教科書にこのミスはないと思っていました」です。同じ節の後半では、媒質1側から光波が入射することになっているのも気付く。「全てを統一的に修正することは、今はできないので、各自で確認しておいて下さい」です。グース・ヘンヒェンシフトについては、何とか終了。ポイントは、振幅反射率は、E(r)とE(i)を結び付ける係数で、それが正ならば位相は反転なくて、負ならば反転した。大きさ1の虚数の場合は、反射の位相シフトになる、ということ。
後半は、偏光状態の分類についての一般論。教科書が不十分なので、教科書を参照にしながら、もう少し本格的なもの。疲れてしまって、上手くできなかったのは、実は流儀の問題。講義の最初に、複素振幅をexpp(+iω・・・）とする流儀とexp(-iω・・・)とする流儀と両方ある。また、exp(iφ), φ=ωt - k・rの流儀とφ=k・r - ωtのの流儀があり、初期位相もωtに負号を合わせる流儀とk・rに負号を合わせる流儀がある、と言うことを述べてある。以下、光波の進行方向をz軸にとる。偏光状態を論ずる場合、後者に関連して、Δ = Φx - Φyとするか、Δ = Φy - Φxとするか。あるいは、Δの前に負号が付くか付かないかの場合が生じる。円偏光の右回りと左周りは、Δ=π/2+mπのmが奇数が偶数かに対応するが、流儀によって対応関係が逆になる。[Ex,Ey]=E[cos(φ'),sin(φ')]の形ならば左回り、[Ex,Ey]=E[cos(φ'),-sin(φ')]の形ならば右回りとなる（φ'=ωt -・・・）。mが奇数か偶数かは、従って、本質的ではない。教科書はΔの前がマイナスのものだが、自分のノートはプラスのものであって、奇数と偶数を数回書き直した。cos(φ'-Δ)=cos(φ')cos(Δ)+sin(φ')sin(Δ)なので、Δの前がマイナスの場合は、偶数が左回りで奇数が右回り・・・教科書は、図が正しくて、本文中の記述が間違い（写真は、"Optics" (Hecht) 3rd ed. p.321より）。紙面から光が観測者に向かって進行する方向に見て、右回り・左回りを定義する。
来年度は、同じ日に二つの授業を入れないようにしようと思う。時間割上、間に授業のない時間帯が挟まっていても、その時間に会議が入ったら休憩は挟めないことになるので。
演習 平成29年度4回目
2017年5月1日。
もう、5月ですね。クォーター制の授業の中間試験の時期にであること意味してもいます。
朝イチの数学演習。複素数・複素関数と複素関数の微分。複素関数の微分のとろは、具体的な関数について、正則であることを確認したり、コーシーリーマンの関係式に関する計算を行う問題は、学生が選択しなかった（2問ともコーシーリーマンの関係についての一般論）。演習の説明を担当学生にやらせた後、具体的な計算で解けなかった問題があったら、試験に出てもいいようここでやりましょうとの問い掛けに、無反応。
複素数・複素関数のところの一つは「一般的な公式の証明」の類。最初にやってくれた問題は、複素数zについいてz3=1の解を求める問題。「解をすべて求めよ」の意味を正確に把握していないよう。つまり、極形式で書くと、条件を満たす偏角θは無数にあることになる（eiφ=1を満たすφは、φ=2nπでnは整数）。しかし、それらは3つの場合に分類できて、最終的には（例えば）θ=0、±2π/3で尽きている。いろいろな論理展開が可能ではあるが、複素平面上にzを表示すれば、一目瞭然。
午前の後半にゼミ。昼のミニゼミは欠席して昼食を取らないと、午後イチの講義に支障がでる。午前後半のゼミの続きを午後の後半に。その後、夕方には新4年生の歓迎会。タフな1日になる。
講義1(前期開講分) 平成29年度6回目
2017年4月27日。
昨日の午後イチは、講義1(前期開講分)の 平成29年度6回目。フレネルの公式のところを終らせ、エネルギー反射率・透過率へ。ブルースター角についても。更に、全反射のところへ。全反射は、当然、エバネッセント波とグース・ヘンヒェンシフトも（ただし、例年グース・ヘンヒェンシフトは第7回に行っていて、今年度も同様）。
前回の演習の秀逸さの影響、未だ覚めやらず。教科書では、TM偏光については磁場がy軸の負の方向を向いた図が書いてある。「流儀」に関する断りの説明を一切していないのは、ある意味で不親切、confusionである。ある意味では、間違いとも言えるので、そう解釈する学生もいるかもしれません。そんなコメントを加える。その後の講義は、良くない。「ことごとく書を信ずれば、書なきが如し」なので、教科書の内容を全て講ずることはしないが、強弱のつけ方が良くない。教科書の記述の一部をスキップするに当たって、記号・変数が少しconfusingになり、途中で修正した。また、sinとcosを逆に書いてしまい、後で訂正した。
前回、各自で宿題とした計算（添字1の方が前か、添字2の方が前か）だけでなく、それから係数をn/μにしたもの、更にそれに対して媒質1と媒質2の透磁率が等しい場合として教科書に書いてある式になることをまずサイドの黒板に書いて説明。その後に、具体的にn2/n1に数値を代入しての計算結果を示す。その箇所でブルースター角も全反射の臨界角も説明はする。もちろん、垂直入射に対して、TM偏光とTE偏光で符号が異なっていることも、再度念押し。
次にエネルギー反射率・透過率について。まず、光波の振幅は電場の振幅で現す流儀であることを再度述べた後、光強度が(屈折率)×(振幅)2に比例することの説明をポインティングベクトルSの計算に基づいた式を使って行う。電磁場のエネルギー密度に基づいた説明は、時間の都合上割愛すると述べる。当然、光束に垂直でない面を通過するエネルギー流速は、面法線nを使ってS・nなので、nと光波の進行方向の単位ベクトル（波面法線）aの角度のコサインが掛って来る。時間平均を行うと係数1/2が出てくることの説明を行うが、その際に教科書の「振幅そのもものを観測できない」というところの説明をした。教科書にあるエネルギー反射率・透過率の説明に移る。エネルギー反射率については、屈折率もcosθも入射波と反射波で共通なので、振幅反射率を二乗するだけだという説明。エネルギー透過率に関しては、まず「屈折率に比例」から単に振幅透過率を二乗するだけではすまなくて、nが掛ってくると説明。次に、コサインは斜入射の効果で、入射波と反射波と違い、入射波と透過波で異なる、と言及。次にcosθiとcosθtがnとは逆になっているでしょう、と。図を描いて、斜入射の場合、斜に傾けば傾くほど境界面と光束の断面は広がり、単位面積当たりエネルギーの流れは小さくなる。と説明。
次にブルースター角。教科書では、エネルギー反射率の後で出てきていて、大抵がその順序で教えられています。つまり、TM偏光（P偏光）エネルギー反射率がゼロになる入射角という定義がされますが、既にTM偏光（P偏光）の振幅反射率がゼロになる入射角として説明済です。振幅反射率=0からブルスター角の式tanθB=n2/n1を説明します。TM偏光の振幅透過率の式の分子=0として、これを導出することもできます。しかし、大抵の教科書では、振幅透過率の式にスネルの法則を適用してn2/n1を消去した式で分母=無限大から導出しています。分母tan(θi+θt)が無限大になるのは、θi+θt=π/2のときですね。これと、スネルの法則の式から・・・ありきたりな説明で終り。
何とか後30分、全反射のところができる。全てはできません。幾何光学的には全反射が起きると透過波はなくなる訳ですが、マクスウェル方程式に基づいた理論では、完全にのっぺらぼうではありません。マクスウェル方程式の解としては、電磁場が存在するのです。もちろん、振動解、ある伝搬定数で伝搬する解ではありません。波動方程式を変数分離法で解いたとき、変数分離定数を-ω2とか-k2とか、負に設定しましたよね。これは、振動解を見つけたかったからです。今回は振動しない解、減衰解が出てきます。波数ベクトルの成分が虚数になることは、屁理屈ではなくて、このような物理を見ようとしているのです。kは、伝搬定数ではなくて、減衰定数という意味なります。・・・最後は時間切れで、「マイナスの方は、exp(-z/d)で減衰する形ですね。エバネッセント波といいます。減衰距離dは入射角に依存することは直ぐにわかりますが、分散関係を用いて波数kを使って書き換えてから、更に波長で書き換えれば、dが波長程度の距離であることがわかります。」で終了。
