博士前期課程講義 平成29年度 13回目

2017年7月11日。

今日の内容は、ランダム・ウォーク、レビー・フライト、DLA。

ランダム・ウォークについては、ランダムな高分子鎖の広がりないしはコンフォーメーションの模型として（習っている人は）習っているでしょう。回転半径（慣性半径かも知れません）が重合度nに比例する話です。第nステップでの位置をR(n)として、<R²(n)>-<R(n)>²=na²（aは格子間隔）を示した後、粒子の存在確率u(r,t)が連続極限（長時間経過後）に拡散方程式になることをまず示す。その後、空間フーリエ変換を使って拡散方程式をとく。確率分布u(r,t)がわかったので、時刻tに置けるr²の平均が計算でき、それがtに比例することがわかる。もちろん、これは<R²(n)>-<R(n)>²=na²と同じ意味の微視的な式。これから、ランダム・ウォークの軌跡のフラクタル次元はd_w=2（空間の次元dによらない）ことが導出できる。

レビー・フライトは、ランダム・ウォークでステップあたりの移動距離が一定となっていた正弦を外し、べき分布としたもの。1<f_w≦2ステップの長さsがSより小さい確率をP(S)=(S/a)^f_wとする(もちろんS≧a)。f_w=1の場合は弾道模型なることをコメントし、f_w>2nの場合はステップ長一定の場合のと透過である（「中心極限定理により」という難解なもの、とのこと）のコメントも。支配方程式をランダム・ウォークの場合と同じように連続近似して求め、それをフーリエ変換を使って解く。ただし、1次元の場合に限定。ポイントは、最終的に∂u^~(q,t)/∂t ～ -q^f_w

u(q,t)を通じて、u^~(q,t)=u^~(q,0)exp(-D_diffq^f_wt)となること。ランダム・ウォークの場合はu^~(q,t)=u^~(q,0)exp(-D_diffq²t)であった。これからd_w=f_wが導かれる（積分してn ～ R^f_wを示すのは困難）。異常拡散（平均二乗変位∝t^β）の話をして次へ。

DLAの実験例は既に挙げてある。少し補足をした後に、DLAのアルゴリズムとラプラス方程式に基づいた解析について話。その後、DLAのフラクタル次元の定式を与えたToyoki and Honda (Phys. Rev. Lett.)の理論の紹介をして終了。

一杯まで掛った（30秒未満しか時間が余らなかった）。途中で休憩を入れて、測定中のサンプルのセッティングをしたかったが、とても無理。フーリエ変換を使って拡散方程式を解くことは、他の授業でも需要があるようで、講義終了後に「教えて下さい」という院生あり。