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講義1(前期開講分) 平成29年度4回目

2017年月20日。

水曜の午後イチは、講義1。講義1は、月曜の午後イチと水曜の午後イチに。昨日は、講義1(前期開講分)の4回目。また昨日は、朝イチにブレインストーミングKJ法の3回目。5月に入ってから、同様なスケジュールの水曜があと3回ある。

今日からマクスウェル方程式に基づいての等方均質媒質中の電磁波(光波)の話。今日は、電荷・電流がない場合のマクスウェル方程式を解くこと。つまり、電磁波の存在。

この章の初回にどこまで進むべきが思い出せなかったので、昨年度のブログを参照。すごく役に立った。ただ、昨年度は、波動方程式 (1/v2)(∂2u/∂t2)=∇2u の変数分離解の説明に関連し、T''(t)+ω2T(t)=0 を解く演習をやられば良かった、と反省している。もう、違う演習問題にしてしまっている。それに関しては、昨年度と同じ様に、cos(ωt)、sin(ωt)が解であることは知っているでしょう、一般解がT(t)=A1cos(ωt)+A2sin(ωt)あるいはT(t)=Acos(ωt+δ)であることは知っているでしょう、で済ます。もちろん、右辺にT'を掛けると一回積分できて、それを無理やりdtとdTに分離して積分の形にして、置換積分を行うとその解が得られます、と言うことも述べる。マクスウェル方程式から波動方程式へは、例年通り。ただし、今はマクスウェル方程式という運動方程式を解こうとしている。そして、連立方程式を解くときに良くあるように、得られた解は必要条件でしかなく、十分条件については確認を行う必要がある、ということは強調する。

波動方程式 (1/v2)(∂2u/∂t2)=∂2u/∂z2 のダ・ランベールの解の後に、変数分離解に入るのも例年通り。ダ・ランベールの解は、前進波と後退波のイメージを持たせる目的。変数分離解として u(r,t)=Σω,kAω,kcos(ωt-kr+δ)・・・あ、位相項δもモードω,k依存にするるのが正確ですね・・・を書いた後、三角関数を加法定理を駆使すれば、この一般解に基づいて今後の議論を進めることはできます。中には、三角関数の加法定理の演習問題をみっちりやっていて、それのできる人もいるかもしれません、と。オイラーの公式を思い出して下さい。あるはcosθ=Re eですね。T''(t)+ω2T(t)=0 の解がcos(ωt)、sin(ωt)であることを直接代入して確かめる方法がありますね。そのときに、一回微分するとcosがsinになり、二回微分するとまたcosに戻りますね。exp(iω) を微分しても exp のままですね。ただし、係数にiが出て来ますが、といい、T''(t)+ω2T(t)=0 の解として e±iω を加える。そして、一般解としてu(r,t)=Σω,kAω,kexp[i(ωt-kr)] の形が理解できますね、と。k=(kx,ky,kz) については、u(r,t)=R(r)T(t) と変数分離したときと同様に R(x,yz)=X(x)Y(y)Z(z) と変数分離すれば、変数分離定数として出てくるとして導入済み。角振動数、波数ベクトル、波数の説明に加え、分散関係 k=ω/v についても説明。特に、exp[i(ωt-kr)] は、時間的には角振動数ωで振動し、空間的には波数ベクトルkの波であるけれども、それは必要条件に過ぎず、波動方程式 (1/v2)(∂2u/∂t2)=∇2u の解であるためには、十分条件として分散関係が成り立たなければならない、と強調。

複素振幅を exp(iω・・・) とする流儀と exp(-iω・・・) とする流儀があることについては、説明し忘れ。

その後、u(r,t)=Σω,kAω,kexp[i(ωt-kr)] の一つの成分(モードと言った方がよかたですね)を取り出して、マクスウェル方程式の解であるための十分条件を調べましょう、と。TEM波のところまで進んだ後、媒質の特性インピーダンスの話をして終り。

実は、TEMの強調に関しては反省しているところがある。光はTEM波だからマクスウェル方程式を書き換えた式(例えば、k=0)が成り立つ、という論理を行った院生がおり、私以外にもTEMを強調してている先生がいるとのことだが、ちょっと反省している、と。「TEM⇒マクスウェル方程式」ではなく「マクスウェル方程式⇒TEM」なんです。。。必要条件と十分条件は、苦手なのでしょうかね。