博士前期課程講義 平成29年度 15回目

2017年7月26日。

1日遅れの記録。本日の講義2のときに採点済レポートのコピーの返却をするため、採点に時間を取られてしまっていました。

マスターの講義の最終回はマルチフラクタル。ボックスカウント法では、ボックスに「粒子」があるかないかだけを問題にする。ヒットしたボックスの数Nをボックスの一辺の長さlの関数といて両対数プロットしていた。しかし、ボックスiは、ヒットしたかどうか以上の情報を持っている。ボックスi中に何個粒子があるかの情報は、ボックスカウント法では解析の対象にしなかった。ボックスi中の粒子密度p_l(i)を解析の対象にしましょう、と言うのが本日やること。

まず分配関数Z_l(q)=Σ_i^'[p_l(i)]^qを定義（Σ_i^'の^'はpl(i)=0のボックスを除いた和を表す）。多重フラクタル次元をD(q)=1/(1-q) lim_l→0logZ_l(q)/log lで定義。D(0)がボックスカウント次元d_Bに一致し、D(1)は情報エントロピーを用いた情報次元、D(2)は相関次元と言う話を。

数Z_l(q)を、統計力学における分配関数Z=Σ_{i∈z全状態}exp(-βE_i)の和をエネルギー状態密度Ω(E)を導入して書き換えたのと同じ書き換えを行う。まず、フラクタル性を反映してp_l(i)∝l^α_iを仮定。リフシッツ・ヘルダー指数(特異性指数)という言葉を紹介。エネルギーがEとE+dEの間にある状態の数がΩ(E)dEであるのと同様に、指数の値がαとα+dαの間にある数をρ(α)l^-f(α)dαとして、ρ(α)とf(α)を定義。Z_l(q)=Σ_i^'[p_l(i)]^q～∫ρ(α)[l^α]^ql^-f(α)dα=∫ρ(α)l^-f(α)+qαdα。これに対し、統計力学の分配関数Z=Σ_{i∈z全状態}exp(-βE_i)=∫Ω(E)e^-βEdE=∫e^S(E)-βEdEを鞍点法で評価するのと同じことを行う。統計力学では、自由エネルギーF=E-TS最小は、expのかたが最大になるのと一致。Z_l(q)=Σ_i^'[p_l(i)]^q～∫ρ(α)l^-f(α)+qαdαについても、lの指数-f(α)+qαが最小になるαを考える（最終的にl→0とする）。それをα(q)として、指数をα=α(q)の回りで展開する。τ(α)=(1-q)D(q)を導入して解析を進め、f(α)の最大がD(0)を与え、y=f(α)とy=αの接点がD(1)を与えることを説明。その後、セル（ボックス）への分割を線分を二分割することを繰り返す場合に、鞍点法の数理だけでなく、変数の間にもお統計力学とマルチフラクタルの間で対応をつける事ができるのを説明。

二項分枝過程の前にDLSクラスターの成長過程のマルチフラクラル解析を紹介。その後、二項分枝過程について手抜きの説明をして終わり。

次週は、時間としては試験となるが、課題は既に配布済みで、その時間終了までにレポートを提出してくれればよい。