博士前期課程講義 平成29年度 9回目

2017年6月13日。

副鼻腔炎が悪化して、顔面が痛くてしゃべりっくい。しゃべりにくさは、先週から。講義は終え、昼のゼミの後に早退。一応、昼食後に少し待機して、学生の対応の最低限のものは済ます積りだったが、対応することはなかった。

講義はカントール集合とコッホ曲線について。[0,1]の線分の真ん中1/3を取り除き、更に残った線分に対しても同様に真ん中の1/3を取り除く、という操作を繰り返して得られるものがカントール集合だと説明。以前に、デバイダー法でくねった曲線のフラクタル次元が間違った1以下になってしまったときに、1以下のフラクタル次元になる例として紹介はしてある。フォトニックフラクタルはこれの３次元版であることも述べる。カントール集合の「集合」の示唆するところ・・・点の集合であり、取り除く操作を全て行うと、線分は残っていない・・・に言及した後に、まずは取り除かれる線分の合計の長さを計算。真ん中1/3を取り除くのだから、取り除く前の線分の端点が取り除かれずに残ることは分かるでしょう。では、端点の集合がカントール集合かというと、これはに署名が必要となります。三進数により、取り除かれる点の集合がどうあらわされ、それを通じて端点がどう表せるかを説明。その後、写像f(x)=3x(x<0.1),-3x+x(x>0.5)による定義を紹介。写像よる定義では、区間[01]中の点でxn+1=f(xn)の漸化式によって数列を定義したときに、x0が逃避点になっていないものの集合として定義。逃避点とは、この場合はn→∞でxn→-∞とならないもの。f(x)の固定点x=0,3/4のいずれもが不安定な固定点であることもポイントであろう。三進数で端点の集合として定義したカントール集合（に属する要素）が、この写像f(x)で変換してもカントール集合（に属する要素）である言を示して証明終わり。

イニシエータ・ジェネレータと言葉は、カントール集合についての説明の途中で行った。コッホ曲線の定義をイニシエーター・ジェネレーターを用いて行った後、コッホ曲線の長さを計算。その後、コッホ島を定義して、その周囲の長さと面積を計算。周囲の長さは発散するが、面積は収束する。ペアの曲線は、やる積りはなかったが、イニシエーターとジェネレーターのていぎだけ紹介。

右側の端点の表現が一意でないことは、10進数については直ぐ分かるが、3進数については慣れれいないので・・・という意味の感想を講義終了後に聞けたのは良かった。