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講義1(前期開講分) 平成29年度2回目

2017年4月12日。

今日は、電磁場の境界条件のうち、磁束密度B電束密度D、電場Eに対するもの。BDについては、ガウスの定理を適用して導出。EHについてはストークスの定理を適用して導出。

一番簡単な∇・B=0から出てくるものが最初で、境界面をはさんで磁束密度の境界面法線方向成分が連続になるというもの。次に∇・D=ρから出てくるもの。電荷面密度を導入して、電束密度の境界面法線方向成分が電荷面密度分だけ不連続になるというもの。電束密度に関しては、使用している教科書でコンデンサ容量の計算の例があげてあるが、いい例だと思うので図を描く。平行平板コンデンサーは、電場のイメージを思い出させるために、第一回目でも描いている。

Eについては∇×E=ー∂B/∂tを境界は面を横切る面渡って積分して、左辺にストークスの定理を適用する。忠実に教科書をなどるなら、講義の意味はない。私は面を貫く磁束Φを導入している。面を四角形とし、四角形の上辺と下辺が面と境界面の光線に一致する極限を考えると、Eについての境界条件(接続条件)が出てくる。その極限において、磁束Φはゼロとなる。従って、右辺の面積分はゼロ(積分と時間微分の順序の変更については断らなかった)。

BについてもについてDも境界面法線方向をz軸にとって、成分で表したものも示している。Eについては、まず(E(2)E(1))・t=0を成分で書き換えることをやる。tは境界面の接線ベクトル、境界を挟んで媒質1と2が接しているとし、スーパースクリプトを付けてどちらの媒質内の電場かを示した。これから、Ex(2)=Ex(1), Ey(2)=Ey(1)に至るには、tはxy面内にあれば任意だから、というのを使う必要がる。任意だからtがx方向の場合にもy方向の場合にも成り立たなければならないという、必要条件であることは直ぐにわかる。十分条件であることは、理解の難しい学生もいると思われる。境界面法線n12(媒質1から2を向く)、ストークスの定理を考える面の法線nを使うと、tn12n外積で表される。(E(2)E(1))・t=0のtにこれを代入してから、スカラー三重積の公式を適用するとn・(n12×(E(2)E(1)))=0となる。nは任意なので、n12×(E(2)E(1))=0となる。これを成分で書き下し、Ex(2)=Ex(1), Ey(2)=Ey(1)を得る場合には、必要条件・十分条件の理屈は不要である。

途中、携帯は電源をオフにする必要がないことが私の方針であることを述べる。家族の病気や事故の連絡は、その旨述べて応答して下さい。私自身が病気の身なので、緊急時の連絡の必要性はわかっています。これは、緊急でない連絡を慎むことを意味してもいます。緊急でない連絡で授業に支障がでて、携帯の電源をオフにすることになったら、それは必要な緊急の連絡を妨げることになるのです。