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演習 平成29年度5回目

2017年5月8日。

これで私の担当分は最後(4回目)で、来週の試験を残すのみ。

本日の演習で感動したのは、コーシーの積分公式を使った解法が余りにも綺麗だったので、テキストを見たところ「N章の演習問題をN+1章のやり方でやっている」ことに私が気付き、「N章のやり方で解く別解があるはずですよ」とコメントしたことに対し、その演習問題をやった学生自身が留数定理を用いた解答を授業時間の後半に行ったこと。しかも、虚数単位iをどこかで忘れ、微妙な食い違いがあるところも、教員が「各自でチェックして下さい、として終わりましょうか」という姿勢になったにもかかわらず、修正もしてくれた。

また、別の問題で、計算ミスをしているのを指摘して修正させるコメントが「聴衆」から出たのも良かった。

一つ、難易度不足の問題の選択があったことは残念だった。

さて、どんな試験問題にしようか。

講義1(前期開講分) 平成29年度7回目

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2017年5月2日。

昨日の午後イチの講義は、後半が最悪。つまり、朝イチで演習、午後の後半にゼミ、其の後の午後イチの講義は、後半には疲れてしまって、些細なミスの修正をとっさにできない。

講義の前半は、何と・・・今まで教科書では「媒質1側から光波が入射し、媒質2との境界面で反射する」とし、媒質1側の屈折率n1が媒質2側の屈折率n2よりも大きな場合として全反射が扱ってあると信じきっていたところ、n2>n1となっていることに気付いてしまった。つまり、媒質2が入射波側。従って、スネルの法則は、n2sinθt=n1sinθt。全反射の臨界核は(sinθt=1から)sinθc=n1/n2。教科書でn1とn2が逆になっていて、式変形の途中で気付いて、修正。「今まで、教科書にこのミスはないと思っていました」です。同じ節の後半では、媒質1側から光波が入射することになっているのも気付く。「全てを統一的に修正することは、今はできないので、各自で確認しておいて下さい」です。グース・ヘンヒェンシフトについては、何とか終了。ポイントは、振幅反射率は、E(r)とE(i)を結び付ける係数で、それが正ならば位相は反転なくて、負ならば反転した。大きさ1の虚数の場合は、反射の位相シフトになる、ということ。

後半は、偏光状態の分類についての一般論。教科書が不十分なので、教科書を参照にしながら、もう少し本格的なもの。疲れてしまって、上手くできなかったのは、実は流儀の問題。講義の最初に、複素振幅をexpp(+iω・・・)とする流儀とexp(-iω・・・)とする流儀と両方ある。また、exp(iφ), φ=ωt - krの流儀とφ=kr - ωtのの流儀があり、初期位相もωtに負号を合わせる流儀とkrに負号を合わせる流儀がある、と言うことを述べてある。以下、光波の進行方向をz軸にとる。偏光状態を論ずる場合、後者に関連して、Δ = Φx - Φyとするか、Δ = Φy - Φxとするか。あるいは、Δの前に負号が付くか付かないかの場合が生じる。円偏光の右回りと左周りは、Δ=π/2+mπのmが奇数が偶数かに対応するが、流儀によって対応関係が逆になる。[Ex,Ey]=E[cos(φ'),sin(φ')]の形ならば左回り、[Ex,Ey]=E[cos(φ'),-sin(φ')]の形ならば右回りとなる(φ'=ωt -・・・)。mが奇数か偶数かは、従って、本質的ではない。教科書はΔの前がマイナスのものだが、自分のノートはプラスのものであって、奇数と偶数を数回書き直した。cos(φ'-Δ)=cos(φ')cos(Δ)+sin(φ')sin(Δ)なので、Δの前がマイナスの場合は、偶数が左回りで奇数が右回り・・・教科書は、図が正しくて、本文中の記述が間違い(写真は、"Optics" (Hecht) 3rd ed. p.321より)。紙面から光が観測者に向かって進行する方向に見て、右回り・左回りを定義する。

来年度は、同じ日に二つの授業を入れないようにしようと思う。時間割上、間に授業のない時間帯が挟まっていても、その時間に会議が入ったら休憩は挟めないことになるので。

演習 平成29年度4回目

2017年5月1日。

もう、5月ですね。クォーター制の授業の中間試験の時期にであること意味してもいます。

朝イチの数学演習。複素数複素関数複素関数微分複素関数微分のとろは、具体的な関数について、正則であることを確認したり、コーシーリーマンの関係式に関する計算を行う問題は、学生が選択しなかった(2問ともコーシーリーマンの関係についての一般論)。演習の説明を担当学生にやらせた後、具体的な計算で解けなかった問題があったら、試験に出てもいいようここでやりましょうとの問い掛けに、無反応。

複素数複素関数のところの一つは「一般的な公式の証明」の類。最初にやってくれた問題は、複素数zについいてz3=1の解を求める問題。「解をすべて求めよ」の意味を正確に把握していないよう。つまり、極形式で書くと、条件を満たす偏角θは無数にあることになる(e=1を満たすφは、φ=2nπでnは整数)。しかし、それらは3つの場合に分類できて、最終的には(例えば)θ=0、±2π/3で尽きている。いろいろな論理展開が可能ではあるが、複素平面上にzを表示すれば、一目瞭然。

午前の後半にゼミ。昼のミニゼミは欠席して昼食を取らないと、午後イチの講義に支障がでる。午前後半のゼミの続きを午後の後半に。その後、夕方には新4年生の歓迎会。タフな1日になる。

講義1(前期開講分) 平成29年度6回目

2017年4月27日。

昨日の午後イチは、講義1(前期開講分)の 平成29年度6回目。フレネルの公式のところを終らせ、エネルギー反射率・透過率へ。ブルースター角についても。更に、全反射のところへ。全反射は、当然、エバネッセント波とグース・ヘンヒェンシフトも(ただし、例年グース・ヘンヒェンシフトは第7回に行っていて、今年度も同様)。

前回の演習の秀逸さの影響、未だ覚めやらず。教科書では、TM偏光については磁場がy軸の負の方向を向いた図が書いてある。「流儀」に関する断りの説明を一切していないのは、ある意味で不親切、confusionである。ある意味では、間違いとも言えるので、そう解釈する学生もいるかもしれません。そんなコメントを加える。その後の講義は、良くない。「ことごとく書を信ずれば、書なきが如し」なので、教科書の内容を全て講ずることはしないが、強弱のつけ方が良くない。教科書の記述の一部をスキップするに当たって、記号・変数が少しconfusingになり、途中で修正した。また、sinとcosを逆に書いてしまい、後で訂正した。

前回、各自で宿題とした計算(添字1の方が前か、添字2の方が前か)だけでなく、それから係数をn/μにしたもの、更にそれに対して媒質1と媒質2の透磁率が等しい場合として教科書に書いてある式になることをまずサイドの黒板に書いて説明。その後に、具体的にn2/n1に数値を代入しての計算結果を示す。その箇所でブルースター角も全反射の臨界角も説明はする。もちろん、垂直入射に対して、TM偏光とTE偏光で符号が異なっていることも、再度念押し。

次にエネルギー反射率・透過率について。まず、光波の振幅は電場の振幅で現す流儀であることを再度述べた後、光強度が(屈折率)×(振幅)2に比例することの説明をポインティングベクトルSの計算に基づいた式を使って行う。電磁場のエネルギー密度に基づいた説明は、時間の都合上割愛すると述べる。当然、光束に垂直でない面を通過するエネルギー流速は、面法線nを使ってSnなので、nと光波の進行方向の単位ベクトル(波面法線)aの角度のコサインが掛って来る。時間平均を行うと係数1/2が出てくることの説明を行うが、その際に教科書の「振幅そのもものを観測できない」というところの説明をした。教科書にあるエネルギー反射率・透過率の説明に移る。エネルギー反射率については、屈折率もcosθも入射波と反射波で共通なので、振幅反射率を二乗するだけだという説明。エネルギー透過率に関しては、まず「屈折率に比例」から単に振幅透過率を二乗するだけではすまなくて、nが掛ってくると説明。次に、コサインは斜入射の効果で、入射波と反射波と違い、入射波と透過波で異なる、と言及。次にcosθiとcosθtがnとは逆になっているでしょう、と。図を描いて、斜入射の場合、斜に傾けば傾くほど境界面と光束の断面は広がり、単位面積当たりエネルギーの流れは小さくなる。と説明。

次にブルースター角。教科書では、エネルギー反射率の後で出てきていて、大抵がその順序で教えられています。つまり、TM偏光(P偏光)エネルギー反射率がゼロになる入射角という定義がされますが、既にTM偏光(P偏光)の振幅反射率がゼロになる入射角として説明済です。振幅反射率=0からブルスター角の式tanθB=n2/n1を説明します。TM偏光の振幅透過率の式の分子=0として、これを導出することもできます。しかし、大抵の教科書では、振幅透過率の式にスネルの法則を適用してn2/n1を消去した式で分母=無限大から導出しています。分母tan(θit)が無限大になるのは、θit=π/2のときですね。これと、スネルの法則の式から・・・ありきたりな説明で終り。

何とか後30分、全反射のところができる。全てはできません。幾何光学的には全反射が起きると透過波はなくなる訳ですが、マクスウェル方程式に基づいた理論では、完全にのっぺらぼうではありません。マクスウェル方程式の解としては、電磁場が存在するのです。もちろん、振動解、ある伝搬定数で伝搬する解ではありません。波動方程式を変数分離法で解いたとき、変数分離定数を-ω2とか-k2とか、負に設定しましたよね。これは、振動解を見つけたかったからです。今回は振動しない解、減衰解が出てきます。波数ベクトルの成分が虚数になることは、屁理屈ではなくて、このような物理を見ようとしているのです。kは、伝搬定数ではなくて、減衰定数という意味なります。・・・最後は時間切れで、「マイナスの方は、exp(-z/d)で減衰する形ですね。エバネッセント波といいます。減衰距離dは入射角に依存することは直ぐにわかりますが、分散関係を用いて波数kを使って書き換えてから、更に波長で書き換えれば、dが波長程度の距離であることがわかります。」で終了。

博士前期課程講義 平成29年度 3回目

2017年4月26日。

昨日の午前の後半は、博士前期過程の講義の3回目。身近なフラクタルの実例を実演。

液体糊に墨汁を垂らしても、フラクタルフラクタルもどきも生じない。墨汁も粘度が高いからだと予想される。墨流しは、次回の「デバイダ法」による解析の実習に使えそうなものができた。写真を撮らせ、次回にプリントアウトして持参するように指示。紙に墨汁を垂らすのは、少し難しい。撮影が難しい。つまり、垂らすとフラクタルパターンは生じるが、時間経過に伴って直ぐに鈍ってしまう。スマホのカメラを別の学生に構えさせ、鈍る前に写真を撮らせた。

フラクタルもどきでさえないが、フラクタル解析が使える例として、水と油を混ぜたものを皿に広げたものを見せた。様々なサイズの「油滴」が存在しているので、拡大縮小したときに同じパターンになるかもしれない、と思わせるもの。もしそうならフラクタルである。実際に過渡的なアイランド分布でそういうパターンは存在しても不思議ではない。理論的には、平衡二相界面は臨界点でフラクタルパターンとなる。これは、実演に先立って講義で述べた。実際のパターンを見せて述べたことは、アイランドサイズ分布という、フラクタル解析の手法が適用できること。

さて、次回も楽しく実習を行いましょう。

講義1(前期開講分) 平成29年度5回目

2017年4月25日。

昨日の午後イチは、講義1(前期開講分)の第5回目。前回にマクスウェル方程式から電磁波ー振動解が存在することーをやった。本来はその継続としてやることろだが、電磁場の境界条件についての演習を先にやることにする。従来のやり方では、境界面に電荷も電流も存在しない場合に、例えば電場が境界面を挟んで連続であることをまず複素振幅で書く。その後、その条件が振幅についての条件と位相についての条件に分離できることを説明。位相条件から反射・屈折の法則(スネルの法則)が出てきて、振幅条件から”これからやる”フレネルの公式が出てくる。従来は演習を行っていなかったので、スネルの法則についても、「位相条件からスネルの法則を導出するのは、こんなものです」という程度(積りはそうでも、いつも詳細までやってしまっていた)の紹介をしていた。

演習問題は、実質は垂直入射に関してのフレネルの公式の導出。しかし、上の振幅条件・位相条件をやっていないので、それを回避する問題設定としてある。更に、電磁波が境界面に入射し、一部が反射され、一部が透過するとしている。電磁波一般の問題としている。そして、入射波の進行方向をz方向、境界面をxy面とし、磁場をy方向と既定した。従って、電場はx方向。反射波については、進行方向が-z方向になるようにy軸を中心に回転させると、磁場はそのままだが、電場の方向は-x方向に向くということを記している。私は、単に媒質1(入射波のある側)内の電磁場は、入射波のものと反射波のものを足し合わせたもの、というだけで電場と磁場の方程式を立ててくるものだと予想していた。黒板で問題を解いてくれた学生は、何と「電場の(x成分)が正の方向を電磁波の振幅が正とする流儀」で、媒質1側の電磁場は入射波のものに負号を変えて反射波のものを加えたもの(反射波のものを引いたもの)として電場と磁場の境界条件の式を立てた。言われなくても気付いたことに驚きを隠せない。講義中でも驚きを隠さずにコメントした。

「流儀の問題」というコメント。S偏光(TM偏光)では磁場の方向が(y軸の)正の方向を光波の振幅が正で、P偏光(TE偏光)では電場の方向が(y軸の)正の方向に取る流儀もあり、その場合には反射波の電場・磁場の前に負号は付かない。どちらでもいい。ちなみに、垂直入射の場合は、S偏光とP偏光の区別はないので、電場の振幅の比は同じになるはずだが、教科書ではS偏光については、(n1-n2)/(n1+n2)、P偏光については(n2-n1)/(n1+n2)となっており、符号が異なっている(nは屈折率で、1および2は媒質を表し、透過側を2としている)。これは、流儀の問題で、どちらでも構わない。ついでに、今まではS偏光・P偏光の語を主に使っていたが、TM偏光・TE偏光の方が斜入射の場合に入射角に依存しないのが磁場なのか電場なのか(この流儀だと、光波の振幅の正の方向の基準とするのが磁場なのか電場なのか)と対応していて、本質的に見えるので、それを使うようにします、とも。もちろん、光波の場合は、電場でもって振幅を表す慣例なので、S偏光(TM偏光)の場合に電場の方向で光波の振幅の正の方向を既定するのは、それに対応している。

このように演習を終了した後、上に述べた振幅条件・位相条件の話をして、フレネルの公式へ。今では、TE偏光が(流儀の問題もなく)電場を基準にして問題を解くのが、光波の振幅の慣例とも一致しているので、TE偏光についてのフレネルの公式を導出することをレポート課題にしてきた。しかし、この演習問題のように、TM偏光の場合は電場Eを磁場Hと媒質の特性インピーダンスZで表して、H基準で(Hについて連立方程式を立てて)問題を解くのが自然であった。インピーダンスZは、どの教科書にも出ているもの(インピーダンスZでフレネルの公式を表したものは、電磁波一般に対するもので)。そこで、TM偏光の場合をレポート課題にします(更に斜入射になった場合の物理的解釈にも困難がないこともに軽く言及)、と。更には、TE偏光の場合に、E基準で問題を解く、つまりHを消去する場合は、連立方程式の係数が1/Zとなる。もちろん、そんなものは面倒なだけで本質的困難ではない、という学生はそれでいい。この中にもそのような学生はいるかもしれないが、それが著しい煩わしさになってしまう学生もいるはずである。

TE偏光に関するフレネルの公式については、一部企業秘密的なところがあるので、詳述はできない。上の段落の関係では、1/Zが係数だと間違いを犯すならば、1/Z=Yとおけばいい。Z=(μ/ε)1/2なのでY=(ε/μ)1/2である。尚、演習の最後で、Zで表したフレネルの公式を比磁性体の場合に屈折率nで表すことはやっていて、その際にn~(ε/ε0)1/2=(εr)1/2もやっている(ここで~は、非磁性の近似を意味する)。するとY~(定数)×nが直ぐ見える学生もいることでしょう。斜入射の場合に係数がYである連立方程式を書き、それを垂直入射の場合と比較し、まず垂直入射の場合のフレネルの式を書いた。ただし、時間がなかったので、振幅反射係数については、分子で添字1が先か2が先かは、各自確かめて下さいとした(TE偏光については流儀が一意なので、結果も一意で、1が先)。それと較べて、入射角のコサインと屈折角のコサインが入った場合についても各自計算して下さい、で済ませた。

既に宣言をしている、TM偏光についてのフレネルの公式の導出をレポート課題にすることについて。どちらの流儀でやるかは、採点の都合を考えて問題中に指示します、と述べている。どちらでもよいと思っていたが、教科書のE(r)/E(i)=(n2cosθi-n1cosθt)/(n2cosθi+n1cosθt)、E(t)/E(i)=(2n1cosθ)/(n2cosθi+n1cosθt)に一致する方の流儀を指示するのがよいという考え方に変わった。つまり、電磁波一般のZを使った表式から、教科書のものが導出できることまで経験させたらいい。

こうやって、記録を残しておくことは、役に立つ(既に先日役に立った)。nを使ったフレネルの公式で、nをn/μに置き換えれば、非磁性体に限定しない表現式となる。例年はこれを強調して述べていたが、今回は時間がなかった。慣用の光学材料は非磁性である。しかし、新規光学材料は非磁性に限定されない。Zを使った表式が電磁波一般のものであることも、もっと強調すればよかった。尚、講義の後片付けをしているときにその教室を次に使う建設工学科の先生と話をし、地震波に対するフレネルの公式をもう少し後の回で教える予定だと聞いた。電磁波だと横波なのでモードは二つしかないが、弾性波だと縦波もあるので、複雑なんでしょうね、とコメントを返した。更に、光学では係数は屈折率で表すのが慣例ですが、電磁波だとインピーダンスとかが本質ですよね。地震波の場合は波速で表します。そうすると、屈折率で表すのと等価ですね。という情報交換も。

演習 平成29年度3回目

2017年4月24日。

数学演習の私の担当の2回目。行列の固有値固有ベクトルの問題が二つ、ユニタリー行列のエルミート共役の微分を計算する問題、行列のトレースの問題。

最後のは、案の定、Tr(AB)=Tr(BA)の証明で和を取るときの成分の足の順が間違っている。例年試験でTr(AB)=Σi(AB)iiijAijBjiのjとiが逆になったものが頻出するので。今回は、行列の積の定義(AB)ikjAijBjkを書いて、「AとBの足の内側の方で和をとる」と強調して説明し、その問題を解いた学生に自分で訂正させた。ΣiΣjAjiBijの混乱はあり、またΣiΣjBjiAijをΣiΣjBijAjiに書き換えることについての説明はできなかった。

行列の固有値固有ベクトルの問題は、やっただけの感じが強い。一つは固有値固有ベクトルまでは求めたが、問題意識として対角化が全く意識されていない。もう一つの問題は、連結バネの運動方程式。つまり、三元の連立微分方程式について、三角関数の形の解を仮定して、固有振動数ω1、ω2、ω3を行列の(係数)固有値として求めさせるもの(実際は、三角関数の形を仮定したとき、それが非自明な解となる条件を解くもの)。一つ目のコメントは、線形(連立)微分方程式だから、独立な解の重ね合わせとして一般解が表現できることを認識して欲しいこと。つまり、cos(ωt)を仮定して固有振動数を求める問題では、必要条件だけ。sin(ωt)についても同様にできて(蛇足として、exp(±iωt)の形を仮定してもいいことも加えた)、それらの線形結合として一般解が得られるところまで行って、連立微分方程式の解として十分となる。もう一つのコメントは、必要条件・十分条件なんてことができない人はどうしたらいいか。係数行列を対角化することにより、解の形をしなくてもcos(ωt)とかsin(ωt)とかexp(±iωt)とかが得られることを説明。テキストではユニタリー行列による対角化が説明してある。それに対し、実ユニタリー行列は直交行列で、座標系の回転に相当している、と言うところをまず説明。係数行列Aを対角化する直交行列Rを見つければ、連立微分方程式md2/dt2 [x1,x2,x3]t=A[x1,x2,x3]tの右辺は、ARR-1[x1,x2,x3]tと書き換えることができ、連立微分方手式の左からR-1を掛けることにより、[x1',x2',x3']t=R-1[x1,x2,x3]tで変換された座標系においては、(RAR-1が対角行列だから)x1'、x2'、x3'について独立な微分方程式となる。

ユニタリー行列のエルミート共役の微分については、一見すると難易度不足。

さて、朝イチの演習の後は、昼のゼミを済ませた後、午後イチに講義。